Javier García Cuesta swoją karierę piłkarza ręcznego rozpoczął w szkole Colegio Corazón de María w Gijón, gdzie trenował pod okiem znanego José Antonio Roncero. Reprezentował barwy reprezentacji Asturii oraz Hiszpanii, pełniąc funkcję kapitana i rozgrywając 63 oficjalne mecze między 1968 a 1975 rokiem. Wystąpił na Igrzyskach Olimpijskich w Monachium w 1972 roku oraz na Mistrzostwach Świata w Niemieckiej Republice Demokratycznej w 1974 roku.
W 1971 roku uzyskał tytuł Trenera Narodowego Piłki Ręcznej, będąc najlepszym w swojej promocji. Ukończył również studia na kierunku Wychowanie Fizyczne w I.N.E.F. w Madrycie, zdobywając mistrzostwo w piłce ręcznej w 1975 roku oraz w piłce nożnej w 1978 roku.
Był Dyrektorem Technicznym oraz selekcjonerem reprezentacji Hiszpanii w latach 1989–1992 oraz 2005–2009, prowadząc drużynę podczas Igrzysk Olimpijskich w Barcelonie w 1992 roku. Ponadto pełnił funkcję trenera i dyrektora technicznego w różnych narodowych federacjach, m.in. w Stanach Zjednoczonych (w obu zespołach: męskim i żeńskim), Egipcie, Portugalii i Brazylii.
3 stycznia 2002 roku poprowadził reprezentację Asturii w międzynarodowym meczu towarzyskim przeciwko Brazylii, który zakończył się wynikiem 28-22.
Źródło: www.informacion.es